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Conny's Blog
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Wie kann man Zahlen schreiben? - 8. und letzter Teil gepostet am 02.05.2016
Von der 0 (Null) und der 1 (Eins)
Hi!

Aus der "kleinen" ist eine etwas "größere Pause" geworden. Aber ich bin mir sicher, du brennst immer noch vor Neugier, wer der zuletzt erwähnte "geniale Kopf" und was seine "brilliante Idee" war. Das Warten hat ein Ende - hier die lang ersehnte Auflösung :-)

Davor nur kurz zum Hintergrund: dir ist sicher auch schon aufgefallen, dass es in unserer Welt von polaren Gegensätzen nur so wimmelt; z.B. Tag & Nacht, Sommer & Winter, links & rechts, innen & außen, hell & dunkel, Mann & Frau, kalt & warm. Die Liste ließe sich endlos fortsetzen. So weit - so klar.

Der "geniale Kopf", dem das eben auch schon aufgefallen war, war ein gewisser Gottfried Wilhelm Leibniz - seines Zeichens deutscher Philosoph, Mathematiker und einiges mehr - der gegen Ende des 17. Jhts gelebt und eine ganze Menge nachgedacht hat. Die vorher erwähnten Gegensätze werden mathematisch als "+ & -" oder auch "1 & 0" bezeichnet. Aber Leibniz ist bei seinen Überlegungen draufgekommen, dass man 0 und 1 nicht nur dafür verwenden kann, diese Gegensätze darzustellen, sondern dass man mit nur diesen beiden Ziffern überhaupt ALLE Zahlen schreiben kann.

Damit hat er ein neues Stellenwertsystem mit der Basis 2 erschaffen, das auch unter dem Namen Dualsystem oder (noch viel prominenter ->) binäres System bekannt ist.

Und genau wie bei anderen Stellenwertsystemen auch haben die Zahlen (hier insbesondere die 1) unterschiedliche Werte in Abhängigkeit von der Stelle, an der sie stehen.

1 an der Einerstelle bedeutet 1; an der Zehnerstelle (im Dezimalsystem wäre es 10, im Babylonischen System 60) bedeutet die 1 -> 2, denn: (von hinten nach vorne gezählt): 0x1 + 1x2 = 2.

11 = (im binären System und wiederum von hinten gelesen): 1x1 + 1x2 = 3

100 (im binären System) = 0x1 + 0x2 + 1x2x2 (oder 2²) = 4

101 = 1x1 + 0x2 + 1x2x2 (oder 2²) = 5

110 = 0x1 + 1x2 + 1x2x2 = 6

111 = 1x1 + 1x2 + 1x4 = 7

usw .

Damit hat Leibniz, ohne es zu ahnen, die Grundlage für den modernen Computer geschaffen, der auf genau diesem binären Zahlensystem aufbaut. Leibniz hat selber übrigens auch einen "Rechner" (eine Rechenmaschine) erfunden, die hat er aber nicht mit dem binären Zahlensystem in Verbindung gebracht.

Und obwohl im nicht klar sein konnte, dass er damit die Voraussetzung für den Computer, der unsere Gegenwart und wohl auch Zukunft bestimmt und bestimmen wird wie sonst kaum was, geschaffen hat, war Leibniz auf seine Erfindung mit dem Zahlensystem sehr stolz; allerdings mehr aus zahlenmystischen Gründen:

Leibniz hielt die 0 für eine "null und nichtige" Zahl des Teufels, während 1 in seinem Verständnis für die göttliche Vollkommenheit steht. Der "Overkill" bei der Sache war für ihn, dass die Zahl 7 als 111 geschrieben wird; und zwar wegen des Schöpfungsberichts, der ja von 7 Tagen für die Erschaffung des Welt spricht; dargestellt als 111, also 3x die "göttliche Zahl" 1 und ganz ohne die "teuflische Zahl" 0. Das genügte Leibniz als Beweis, dass das binäre Zahlensystem das allerbeste überhaupt sein müsse. Computerfreaks sehen das vermutlich auch so....

Und damit wollen wir's gut sein lassen mit unserem Zahlen schreiben - Kapitel. Auch wenn's natürlich noch viel zu erzählen gäbe. Einmal muss halt Schluss sein....

tschüss (mit "ü")
Deine Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wie kann man Zahlen schreiben“ , Albrecht Beutelspacher

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Wie kann man Zahlen schreiben? - Teil 7 gepostet am 27.01.2016
Die Erfolgsgeschichte der Null
Servus beim mathe Blog!

Letztes Mal haben wir uns mit der wahrscheinlich wichtigsten Kleinigkeit (zumindest was Mathematik betrifft) beschäftigt: der Null.

Die Null hat das Zahlensystem der Inder - das übrigens unser heutiges Zehnersystem ist - so richtig perfekt gemacht, und damit war es nicht mehr aufzuhalten. Vor allem der Verbreitung des Islam verdankt das Zehnersystem seinen "Export" über Spanien und Frankreich nach Mitteleuropa. In Westeuropa ist es 1202 angekommen. Woher ich das so genau weiß, willst du wissen? Ich sag's dir:

Wir wissen es so genau, weil in diesem Jahr ein gewisser Leonardo von Pisa, (viel) besser bekannt unter dem Namen Fibonacci (was übrigens nichts anderes heißt als Sohn des Bonacci; wusstest du das?) ein gewisses Rechenbuch veröffentlicht hat. Das hat den (auch ziemlich bekannten) Titel "Liber Abaci" (Das Buch des Abacus), und der ist wiederum insofern bemerkenswert, als es in diesem Buch überhaupt nicht um den Abacus geht - ganz im Gegenteil: es geht um das neue, indische Zehnersystem, das darin über den grünen Klee gelobt wird. Gleich auf der 1. Seite kann man lesen, dass sich mit den indischen Figuren 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 UND - (Fanfare! ->) - der Zahl 0 (Null) jede beliebige Zahl darstellen lässt. An dieser bahnbrechenden Tatsache hat sich in den letzten 800 Jahren nichts geändert.

Knappe 500 Jahre später, um 1679, hat ein anderer genialer Kopf eine brilliante Idee gehabt, ohne die unser heutiges Leben gar nicht vorstellbar wäre.

Wer das war und um welche Idee es geht? Tja, das ist das Teuflische bei so Serien: du erfährst es beim nächsten Mal, und das wird wegen der Semesterferien diesmal noch ein bisserl länger dauern.

Jetzt also erst einmal schöne Ferien! Lass es dir richtig gut gehen und nimm einen ordentlichen Anlauf, damit du mit Vollgas in die Zielgerade Richtung Sommerferien starten kannst.

VlG, Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wie kann man Zahlen schreiben“ , Albrecht Beutelspacher
Wie kann man Zahlen schreiben? - Teil 6 gepostet am 20.01.2016
Null, aber überhaupt nicht nichtig
Hey!

Dir wird es vielleicht nicht bewusst sein, aber die meist geringgeschätzte und manchmal sogar als Schimpfwort missbrauchte Null ist ansich eine ziemlich geniale Sache; und nur für uns heute eine wenig beachtete Selbstverständlichkeit. Und wenn du dich an die Frage vom letzten Mal erinnerst, nämlich welche entscheidende "Kleinigkeit" dem sonst bemerkenswert fortschrittlichen Babylonischen Zahlensystem gefehlt hat, liegt die Antwort damit ziemlich auf der Hand: die Null war's.

Für das Babylonische Zahlensystem war die Null bzw. viel mehr ihr Nicht-vorhanden-Sein der Knackpunkt und ist wahrscheinlich der Grund, warum du vor diesem Blog vielleicht noch nie was davon gehört hast.

Und wer hat's erfunden? Nein, Ricola war's nicht, sondern die Inder; wann, wissen wir nicht ganz genau. Erste schriftliche Aufzeichnungen darüber stammen aus dem Jahr 876, aber dort kommt die Null so "selbstverständlich" vor, dass wir vermuten können, dass sie schon ein paar Jährchen oder gar Jahrzehnte zuvor "entdeckt" worden war.

Die Null ist genial - ohne Null geht's nicht. Das kannst du gerne dem nächsten Typen verklickern, der behauptet, du wärst eine Null; mit schönen Grüßen vom mathe-trainer :-)

Über den "Siegeszug" der Null werde ich dir beim nächsten Blog erzählen.

Mach's gut bis dahin & LG
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wie kann man Zahlen schreiben“ , Albrecht Beutelspacher
Wie kann man Zahlen schreiben? - Teil 5 gepostet am 13.01.2016
"60 ist gut"
Willkommen beim 1. Blog des Neuen Jahres! Schön, dass du wieder dabei bist.

Unsere Blog-Überschrift soll nicht in einer eher schwachen Abwandlung von Udo Jürgen's "Mit 66 Jahren" die Qualitäten des Alters preisen, sondern bezieht sich natürlich, wie nicht schwer zu erraten war, auf unser Zahlen-Kapitel von zuletzt.

Zur Erinnerung: vor Weihnachten haben wir ja etwas über den Tellerrand unseres Dezimalsystems geschaut und uns mit anderen Zahlensystemen beschäftigt; zuletzt mit dem in vielerlei Hinsicht genialen Babylonischen System, einem Stellenwertsystem wie dem unseren mit 60 als Basis.

Und ganz zuletzt haben wir uns dann die Frage gestellt: wieso ausgerechnet 60? Die eine Erklärung hängt mit dem Jahreskreis zusammen bzw. der - von einer kleinen Unschärfe abgesehenen - Anzahl von 360 (6 x 60) Tagen eines Jahres. Die ist - zugegeben - nicht schlecht, aber wirklich überzeugend ist die andere, nämlich der mathematische Zugang.

Mathematisch gesehen, ist 60 nämlich eine "gute" Zahl; "gut" schon dadurch, dass sie hinten eine Null hat. Das trifft natürlich auch auf diverse andere Zahlen zu (10, 30, 50, 70....), das kann's also noch nicht gewesen sein. Ist es auch nicht:

Der zweite bestechende Grund, der für 60 als Basis eines Zahlensystems spricht, ist der, dass man 60 durch so viele Zahlen teilen kann; nämlich durch 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 und 30. Nimmt man 1 und 60 als Teiler dazu, sind das nicht weniger als 12 (ZWÖLF !!!) Teiler. Das ist so viel wie bei keiner anderen Zahl < 60. Mit unserem Dezimalsystem können in dieser Hinsicht ziemlich einpacken: außer durch 1 und sich selbst lässt sich 10 nur durch 2 und 5 teilen; das war's.

Trotz seiner Genialität ist das Babylonische System, so wie andere Stellenwertsysteme und (aus mathematischer Sicht ganz zurecht) die (reichlich unbrauchbaren) Systeme der Griechen und Römer später in Vergessenheit geraten.

Denn eine entscheidende Kleinigkeit hat dem Babylonischen System gefehlt. Errätst du was? Ich sag's dir beim nächsten Mal.

salve!
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wie kann man Zahlen schreiben“ , Albrecht Beutelspacher
Wie kann man Zahlen schreiben? - Teil 4 gepostet am 02.12.2015
60
Hello!

Jetzt weißt du also, wie Zahlen im Babylonischen System geschrieben werden bzw. wie wir sie in unser Dezimalsystem "übersetzen" müssen.

Die Frage, die sich aufdrängt, ist natürlich: warum? Warum ausgerechnet 60 als Basis?

Um die Wahrheit zu sagen: wir wissen es eigentlich nicht, denn es gibt darüber keine Quellen. Macht aber nix, denn wir können uns relativ einfach zwei einleuchtende Erklärungen dafür zusammenreimen, die auf die beiden damals bekannten Wissenschaften, nämlich die Astrologie und die Mathematik, zurückgehen.

Und hier ist auch schon die 1. Erklärung aus der Astrologie:

60 x 6 = 360; so viel, wie das Jahr Tage hat. Einspruch! wirst du jetzt sicher sagen, denn jeder Windelträger weiß doch, dass es 365 Tage sind. Lieber wäre uns aber 360, weil es eine gute Zahl zum Rechnen ist (wie du später sehen wirst).

Genau das haben die Babylonier gemacht: sie haben festgelegt, dass das Jahr 12 Monate à 30 Tage hat, also 360 Tage. Wegen des kleinen "Schönheitsfehlers" von 5 Tagen mussten sie alle paar Jahre einen Schaltmonat einfügen.

Ähnlich haben es übrigens die südamerikanischen Maya gemacht, die schon sehr früh über einen hoch entwickelten Kalender verfügten: ihr Kalenderjahr bestand aus 18 Monaten à 20 Tagen (18 x 20 = 360) mit 5 Schalttagen am Ende jeden Jahres. Diese Schalttage galten als Unglückstage, an denen man möglichst sein Haus nicht verließ und nichts unternahm, um dem Unglück die kleinstmögliche Chance zum Zuschlagen einzuräumen.

Unser Kalender definiert ein Jahr zwar mit 365 Tagen, aber 100%ig richtig liegen wir damit auch nicht und müssen alle 4 Jahre einen Schalttag einfügen. 2016 ist es wieder soweit: ein zusätzlicher Schultag am 29. Februar - hurra!

Die Erklärung mit dem Jahreskalender für die 60er-Basis ist zwar einleuchtend, weil sie einen kaum zu widerlegenden Bezug zur Realität, der Zeit und dem Leben hat. Restlos überzeugen wird dich (bzw. hat uns alle) aber die andere Erklärung, und zwar natürlich weil sie eine mathematische Erklärung ist. :-)

Die ziehen wir uns dann beim nächsten Blog rein.

Bis dahin: cool bleiben :-)

Helena
Mathematik zum Anfassen – „Wie kann man Zahlen schreiben“ , Albrecht Beutelspacher
Wie kann man Zahlen schreiben? - Teil 3 gepostet am 25.11.2015
Das Babylonische Zahlensystem
Hi!

Diesmal knöpfen wir uns also das Babylonische Zahlensystem selber vor: wie werden da Zahlen geschrieben bzw. gelesen?

Weil's natürlich ungewohnt ist, musst du vielleicht ein bisserl nachdenken wir der Smiley links, aber du wirst sehen: im Grunde funktioniert es genau wie unser Deziamalsystem, an das wir uns ja auch irgendwann einmal gewöhnt haben, oder?

Also:
Machen wir's anhand eines Beispiels und "lesen" wir die Babylonische Zahl 345. Und am besten "zäumen" wir das sprichwörtliche "Pferd" von hinten auf:

Die letzte Zahl, 5, bedeutet wie im Dezimalsystem genau die Zahl, die sie ist: 5.

Die 4 wäre im Dezimalsystem 4 x 10 = 40; im Babylonischen System, dessen Basis ja 60 ist, entsprechend: 4 x 60 = 240

Die 3 wäre "bei uns" 3 x 100 oder 3 x 10 x 10 bzw. 3 x 10² = 300. Hier wiederum 3 x 60 x 60 = 3 x 60² = 3 x 3.600 = 10.800.

Und wie im Dezimalsystem werden diese Werte zum Schluss zusammengerechnet: 10.800 + 240 + 5 = 11.045 (im Dezimalsystem) = 345 im Babylonischen System.

Wie gesagt: eigentlich nicht wirklich schwierig, nur eben ein wenig ungewohnt. Dabei haben die Babylonier mit ihrer 60er-Basis Spuren bis in die heutige Zeit hinterlassen. Denn auch heute rechnen wir in einem bestimmten Bereich nach wie vor mit 60 als Basis, nämlich bei der Zeitrechnung: 1 h = 60 min, 1 min = 60 sek. Unser Beispiel 345 wären also die Anzahl der Sekunden in 3 h, 4 min und 5 sek. Und auch in einem anderen Bereich haben wir auch heute noch eine 60er Basis: denke an die Gradeinteilung bei Winkeln und Kreisen/Kugeln: "1 x rundherum" = 360°.

Das war auch schon der ganze Zauber mit dem Babylonischen System. WARUM ausgerechnet 60 als Basis gewählt wurde, diese Frage beantworten wir nächstes Mal. Und dafür gibt's gleich zwei ziemlich einleuchtende Gründe....

VlG, Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wie kann man Zahlen schreiben“ , Albrecht Beutelspacher
Wie kann man Zahlen schreiben? - Teil 1 gepostet am 11.11.2015
Die Erfindung, die die Welt verändern sollte
Hallo bei einem neuen Blog-Thema:

den Zahlen; bzw. der Art und Weise, Zahlen aufzuschreiben; und zwar so, wie wir das heute machen.

Es wird dich vielleicht erstaunen, dass wir diese "Art und Weise" eigentlich einem Mann, der vor 4000 Jahren im damaligen Babylonien (dem Zweistromland oder heutigen Irak) gelebt und eine revolutionäre Erfindung gemacht hat. Ohne ihn bzw. diese Erfindung könnten wir wahrscheinlich heute weder Zahlen schreiben noch rechnen, was dann auch eine Wirtschaft im heutigen Sinne unmöglich machen würde; Finanzkrise gäbe es dann zwar auch keine, aber die Krise, die wir haben, können wir schließlich nicht den Zahlen in die Schuhe schieben...

Die Erfindung dieses Babyloniers war eine geniale und (für die damalige Zeit) völlig neue Art, Zahlen zu schreiben.

Das Zahlen-Schreiben selber hat er natürlich nicht erfunden, dieser Babylonier. Schon vor 30.000 Jahren, wie sich anhand eines auf dieses Alter datierten Knochenfundes herausgestellt hat (wenn nicht überhaupt schon früher) hat man Zahlen aufgeschrieben, indem man für 1 Ding -> 1 Kerbe in (z.B.) einen Knochen gemacht hat; 8 Kerben für 8 Dinge, 13 Kerben für 13 Dinge. Unter den Archäologen herrscht Einigkeit, dass es sich bei besagtem Knochenfund tatsächlich um eine Zahlendarstellung und keinen "Zufall" oder eine "Schnitz-Übung" handelt.

Nur unwesentlich fortschrittlicher war da das römische Zahlensystem, das im Grunde auch nicht mehr als ein etwas raffinierteres Kerbensystem ist.

Das schauen wir uns aber dann nächstes Mal genauer an.

I count on you :-)

Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wie kann man Zahlen schreiben“ , Albrecht Beutelspacher
Genial daneben gepostet am 02.07.2015
Jeder kann sich mal irren…

… auch berühmte Visionäre, Pioniere und Koryphäen auf ihrem eigenen Fachgebiet …
Schön, dass wir uns heute hier im Blog treffen; dem Computer und dem Internet sei Dank. Dass wir das alles wie selbstverständlich haben und nutzen, ist eigentlich gar nicht so selbstverständlich. Vor lächerlichen 70 Jahren war alles Digitale noch weitgehend unvorstellbar; auch für manche Branchengrößen von heute (oder sogar schon von gestern).

Aber lies selbst: wir haben einige sehr bemerkenswerte Irrtümer sehr bemerkenswerter Persönlichkeiten zum Thema Computer und Internet für dich zusammengetragen:

"Ich denke, dass es einen Weltmarkt für vielleicht fünf Computer gibt" war Thomas Watson, Vorsitzender von IBM im Jahr 1943 überzeugt.

Drei Jahre später, 1946, ließ Pablo Picasso wissen: "Computer sind nutzlos. Sie können nur Antworten geben." Aber gut: er war ja auch Maler und Bildhauer…

Aber auch rund 20 Jahre später konnte sich ein absoluter Spezialist der IBM Forschungsabteilung Advanced Computing System Division keine Zukunft für den Mikrochip vorstellen: „Schön, aber wozu ist das Ding gut?“ war 1968 seine Frage.

Ähnliches wie von IBM-Mann Watson war übrigens auch noch über 30 Jahre später, nämlich 1977 von Ken Olson, dem Präsidenten, Vorsitzenden und Gründer von Digital Equipment Corp., zu hören: "Es gibt keinen Grund, warum irgendjemand einen Computer in seinem Haus wollen würde“.

Kein Geringerer als Apple-Mitbegründer Steve Jobs wiederum scheiterte Mitte der 1970er Jahre am (mangelnden) Weitblick seiner Zeit, insbesondere von Atari und HP, die er und Steve Wozniak für ihren Personal Computer begeistern wollten: "Also gingen wir zu Atari und sagten, 'Hey, wir haben dieses erstaunliche Ding sogar aus einigen Ihrer Teile zusammengebaut, was halten Sie davon, uns zu finanzieren? Oder wir geben es Ihnen. Wir wollten es einfach tun. Zahlen Sie unser Gehalt, wir kommen und arbeiten für Sie'. Und sie sagten, 'NEIN'. Dann gingen wir zu Hewlett-Packard, und sie sagten, 'Hey, wir brauchen Sie nicht, Sie haben das College noch nicht abgeschlossen.'"

Schlussendlich gibt es einige unglaubliche Fehleinschätzungen von einem Mann, der es wirklich wissen müsste, nämlich einem gewissen Bill Gates. 1981 lag mit der Aussage dass „…640 KB genug für jedermann sein sollten….“ ziemlich daneben.

Und auch folgender nur 20 Jahre alten Einschätzung widerspricht die Entwicklung doch recht deutlich: "Ein Internet-Browser ist nur ein unbedeutendes Stück Software…" sagte Bill Gates anno 1995.


Nächste Woche gibt’s noch einen kleinen Nachschlag zu den genialen Irrtümern, die natürlich auch vor anderen heutigen Selbstverständlichkeiten nicht haltgemacht haben.

LiGrü, Helena
Rotkäppchen auf "mathematisch / (physikalisch)" gepostet am 24.06.2015
it's fairy-tale time...
Es war einmal ein Mädchen, dem wurde eindeutig eine rote Kappe zugeordnet, sodass es als Rotkäppchen definiert wurde. "Kind", argumentierte die Mutter, "werde kreativ, mathematisiere die kürzeste Verbindung zur Großmutter, analysiere aber nicht die Blumen am Wege, sondern formuliere deinen Weg in systematischer Ordnung." Rotkäppchen vereinigte einen Kuchen, eine Wurst und eine Flasche Wein zu einer Menge, integrierte sie in den Korb, hinterfragte nochmals den Weg und beschleunigte.

Im Walde schnitt ihr Weg den Weg eines Wolfes. Er diskutierte mit ihr über die Relevanz eines Blumenstraußes für die Großmutter und motivierte sie, eine geordnete, abzählbaren Menge an Blumen zu verknüpfen. Inzwischen machte der Wolf die Großmutter zu einer Teilmenge von sich.

Als Rotkäppchen bei Großmutter's Haus verlangsamte und schließlich zum Stillstand kam, fragte sie: "Großmutter, warum hast du so große Augen?" "Ich habe gerade mein Zeugnis bekommen!" "Großmutter, warum hast du so große Ohren?" "Die Schallwellen der Schulglocke versetzten die Ohren in Schwingung und resultierten in einer Expansion der Ohren". "Großmutter, warum hast du einen so großen Mund?" "Die Schulküche... du weißt schon... uuuääähhh!" Daraufhin machte sich der Wolf zur konvexen Hülle von Rotkäppchen.

Ein Jäger kam, sah die leere Menge von Großmutter im Haus und problematisierte die Frage, bis sie transparent wurde. Dann nahm er sein Messer und machte aus dem Wolf eine Schnittmenge. Die im Wolf integrierten Personen wurden schleunigst von ihm subtrahiert. Zum Wolf wurde eine mächtige Menge Steine addiert. Gravitationsbedingt fiel er in einen zylinderförmigen kartesischen Brunnen, und das Wasser gliederte sich seine Restmenge ein.

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