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Conny's Blog
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Was ist dabei eigentlich schön? - 6. und letzter Teil gepostet am 17.12.2014
Schönes aus Seife
Hello!

Heute geht es ins Finale mit unserem "schöne Mathematik" Kapitel, und weil's der letzte Blog vor Weihnachten ist, gibt es was, das für alle (auch Nicht-Mathematiker) zum Schauen und Staunen ist.

Dazu brauchen wir verschiedene mathematische Körper (Prisma, Würfel, Pyramide....) aus Draht geformt an einem Stab und einen großen Kübel mit Seifenlauge. Wir tauchen die Formen in die Lauge und schauen, was passiert.

Wahrscheinlich würdest du erwarten, dass sich die Oberfläche des Körpers mit einer Seifenhaut überziehen wird, und wärst damit (wie die allermeisten) total auf dem Holzweg. Tatsächlich bilden sich unerwartete Konstruktionen von Seifenhäuten im Inneren der Körper in perfekter Symmetrie, die erstaunlich stabil sind. Wenn man das Drahtgestell hin- und herbewegt, wackelt die Struktur wie ein Pudding, zerreißt aber nicht und kehrt, wenn das Wackeln aufhört, wieder in ihre Originallage zurück.

Das Zauberwort hier heißt Minimalflächen: die Seifenhaut bildet sich immer so, dass die kleinstmögliche Fläche entsteht, und ist aus genau diesem Grund auch so stabil. Das Wackeln des Gestells zwingt die Lauge in eine größere Oberfläche, sobald der Körper wieder in Ruhe ist, kehrt sie in die minimale Oberfläche zurück. Bei den verschiedenen Körpern entstehen die seltsamsten und schönsten Gebilde, die bestimmt einen Platz im "Buch vom Lieben Gott" bekommen würden.

Erdös (du erinnerst dich: der dieses"Buch vom Lieben Gott" erfunden hat) definiert zwei Elemente für alles mathematisch Schöne:

1. Einfachheit: wir müssen verstehen können, warum etwas so ist bzw. nur so sein kann; und

2. Überraschung: die unerwartete Lösung eines scheinbar schwierigen Problems.

Mathematische Schönheit ist also zusammengefasst nichts anderes als überraschende Einfachheit.

In diesem Punkt sind sich alle Mathematiker einig: Mathematik ist ihrem Wesen nach schön. Besonders schön drückt das ein äußerst redegewandtes Mathematikgenie, G.H. Hardy, der vor rd. 100 Jahren lebte, aus, indem er sagt:

"...Es gibt keinen dauerhaften Platz für hässliche Mathematik auf der Welt..."

So viel zum Kapitel über die Schönheit der Mathematik. Jetzt geht's in die Weihnachtspause, die für dich eine superschöne, aufregende oder erholsame, jedenfalls megamäßige sein soll. Das wünsch ich dir und freu mich auf ein Wiederbloggen im Jänner.

Alles Liebe
deine
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Was ist dabei eigentlich schön?“, Albrecht Beutelspacher

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Was ist dabei eigentlich schön? - Teil 5 gepostet am 03.12.2014
Das "Klick & Knack Problem"
Hi!

Kommen wir heute einmal zu etwas wirklich Praktischem, aus dem Leben Gegriffenen und vor allem sehr Trendigen in Zeiten von vorweihnachtlichem Süßzeug:

Heute wollen wir uns nämlich im "Buch vom Lieben Gott" mit den "schönen Beweisen" durch das Brechen einer Tafel Schokolade ("Knack") verewigen, ein scheinbar schwieriges Problem, das wir mit einem einzigen Geistesblitz ("Klick") lösen werden. Und los...

Die Tafel Schokolade, die du am Bild siehst, hat 3 x 10, also 30 Einzelstücke. Und die Frage, die wir uns stellen, ist: wie oft müssen wir die Tafel brechen, um lauter Einzelstücke zu bekommen?

Die Methode ist, jedes Stück in zwei Teile zu brechen. Arten zu brechen gibt's ja viele. Wir könnten die Tafel und jedes weitere Stück jeweils halbieren oder Rippen oder Längsstreifen abbrechen, die wir dann weiter zerkleinern, oder einfach wahllos drauflosbrechen. Wie auch immer wir's machen wollen - die Frage ist: wie oft müssen wir zerbrechen?

Natürlich kannst du's einfach ausprobieren und mitzählen, und bei 30 Stücken geht das ja auch noch. Aber stell' dir vor, es ginge um 100 oder 1000 Stück! Eleganter und praktikabler ist es da jedenfalls, die Lösung durch Nachdenken im Kopf zu finden, und das ist gar nicht so schwer...:

Jedes Stück soll in zwei Teile zerbrochen werden, also entsteht aus 1 Stück -> 2 Stücke, und die Anzahl der Stücke erhöht sich bei jedem Zerbrechen um 1: jedes Zerbrechen = +1. Wenn wir also zu Beginn 1 Stück (die ganze Tafel) haben und 30 Stücke das Ziel ist, müssen wir - eh klar! - 29 mal zerbrechen.

Nächste Woche ist Blog-Pause. In zwei Wochen gibt's dann noch einen "Schöner Beweis - Bonus" (Stichwort: Seifenblasen!)

Jetzt hast du dir aber ein Stück Schokolade verdient. :-)

LG, Helena

Mathematik zum Anfassen – „Was ist dabei eigentlich schön?“, Albrecht Beutelspacher

Was ist dabei eigentlich schön? - Teil 4 gepostet am 26.11.2014
kein Spaziergang durch Königsberg
Hallo!

Heute knacken wir die Nuss mit dem Spaziergang durch Königsberg bzw. lassen uns vorführen, wie Euler die Sache gelöst hat.

Um seine Idee leichter nachvollziehen zu können, schauen wir uns das am Beispiel eines Davidsterns oder Pentagramms an, wie du's am Bild siehst. An den Ecken sind Nägel eingeschlagen, damit man die Linie über alle Kanten mit einer Schnur nachziehen kann.

Wenn wir das machen, fällt eine Sache auf: bei jeder Ecke wird immer eine Kante beim Hin- und eine beim Weggehen verbraucht, also jeweils zwei Kanten pro Ecke. Wird dieselbe Ecke nochmals angesteuert, muss es wiederum zwei Kanten geben (eine hin- und eine wegführende), also immer eine gerade Anzahl von Kanten.

Mit dieser Erkenntnis formuliert Euler: eine Lösung (also eine durchgehende Linie) kann dann gefunden werden, wenn jede Ecke eine gerade Anzahl von Kanten hat, die zu ihr hin- bzw. wegführen.

Und mit diesem "Schlüssel" konnte er das Problem mit dem Spaziergang über die Königsberger Brücken lösen:

auf seiner abstrakten Skizze von Königsberg führen zum Punkt , der für die linkere Insel steht, fünf Brücken (also fünf Kanten), zur rechteren Insel und den beiden Punkten für den oberen und unteren Stadtteil jeweils 3 Brücken/Kanten; also überall ungerade Anzahlen von Kanten. Damit ist klar, dass aus dem Spaziergang mit diesen Vorgaben (über alle Brücken, jeweils aber nur einmal, und zum Ausgangspunkt zurück) leider nix wird.

"Ganz nebenbei" hat Euler damit die sogenannte Graphen-Theorie, eine bis dahin unbekannte Disziplin, begründet, für die ihm zumindest alle, die sich mit Netzwerkplanung und deren Optimierung beschäftigen, nach wie vor dankbar sind.

Wenn dieser "schöne" Beweis von Euler für deinen Geschmack zu abstrakt sein sollte, hab ich das nächste Mal was für dich. Da geht es - ganz im Trend vorweihnachtlicher Leckereien - um SCHOKOLADE! Nicht verpassen....

Ciao bis nächste Woche
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Was ist dabei eigentlich schön?“, Albrecht Beutelspacher
Was ist dabei eigentlich schön? - Teil 3 gepostet am 19.11.2014
Spaziergang durch Königsberg
Hey!

Heute schauen wir uns einen anderen "schönen Beweis" an; einen, den ein gewisser Leonhard Euler gefunden hat.

Vielleicht ist dir dieser Leonhard Euler schon einmal untergekommen. Er war einer der genialsten Mathematiker des 18. Jahrhunderts und einer der klügsten Köpfe überhaupt. Und das hier ist ein schönes Beispiel für die Klugheit seines Kopfes....

Schau dir einmal die Skizze vom Königsberger Stadtplan an: ein Fluss teilt sich in einen oberen und unteren Arm und fließt dann wieder zusammen, wodurch eine Insel entsteht. Dann teilt er sich noch einmal in zwei Arme. Übers Wasser führen mehrere Brücken: von der einen Insel je zwei zum nördlichen und südlichen Stadtteil, eine nach rechts hinüber zur Nachbarinsel und von dieser Insel wieder je eine Brücke in den nördlichen und südlichen Stadtteil.

Und die Frage, die sich die Königsberger stellten und nicht eindeutig beantworten konnten, war die, ob es möglich sei, einen Spaziergang durch Königsberg zu machen, der genau einmal über jede Brücke und zum Schluss zurück zum Ausgangspunkt führt. Mit dieser Frage gingen sie zu Euler.

Euler nahm sich der Sache an und ging auf typisch mathematische Weise an das Problem heran. Aus der Karte machte er eine stilisierte Skizze, bei der die Landteile ober- und unterhalb der Insel und die beiden Inseln einfach durch Punkte dargestellt und überall dort mit Strichen verbunden wurden, wo Brücken waren: also je zwei Striche (für je 2 Brücken) vom linkeren Insel-Punkt zum oberen und unteren Punkt, ein Strich zum Punkt, der für die 2. Insel stand, und je ein Strich vom rechteren Insel-Punkt zu den Punkten für den oberen und unteren Stadtteil.

Mit dieser vereinfachten Skizze formulierte Euler das Problem: ist es möglich, mit einem Stift ohne abzusetzen eine Linie zu ziehen, die alle Verbindungskanten (also die Striche für die Brücken) beinhaltet - und zwar jede nur einmal! - und zum Ausgangspunkt zurückführt?

Tja, das ist die Frage. Und die beantwortet uns Euler dann beim nächsten Blog.

& tschüss
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Was ist dabei eigentlich schön?“, Albrecht Beutelspacher
Was ist dabei eigentlich schön? - Teil 2 gepostet am 13.11.2014
Das Schachbrett-Beispiel
Servus zum Blog!

Jetzt lüften wir das Geheimnis vom letzten Mal - du erinnerst dich: das Schachbrett, bei dem wir zwei gegenüberliegende Felder entfernt haben und das mit den 2-Felder-Plättchen abgedeckt werden soll. Die Frage ist: geht das, wenn die beiden Eck-Felder fehlen?

Beim kleinen Schachbrett (mit den 4 x 4 Feldern) sind die paar Plättchen schnell aufgelegt, und es stellt sich heraus: nein, es geht NICHT: übrig (also nicht mit Plättchen bedeckt) bleiben zwei Felder, die einander an einer Ecke berühren, sodass kein Plättchen draufgelegt werden kann. Auf dem Bild links siehst du's ganz deutlich.

Sicher fällt dir noch etwas bei dem Bild auf: beide Felder, die nicht abgedeckt sind, sind weiß! Und da hast du auch schon den Schlüssel für die Antwort:

Ganz egal, wie viele Plättchen und wie sie aufgelegt werden: jedes Plättchen deckt immer ein weißes und ein schwarzes Feld ab. 6 Plättchen decken 6 schwarze und 6 weiße Felder ab, 100 Plättchen decken 100 schwarze und 100 weiße ab. Wenn wir 2 schwarze Felder wegnehmen, ist die Anzahl der weißen und schwarzen Felder nicht mehr gleich, und die beiden weißen Felder, die "mehr" sind, können nicht mehr durch Plättchen abgedeckt werden.

Dasselbe gilt natürlich für das große 8 x 8 Felder - Schachbrett. Da gibt es, wie gesagt, abertausende Möglichkeiten, die Plättchen aufzulegen, die wir nie alle ausprobieren könnten; müssen wir aber auch nicht, denn wegen der Sache mit den (30) schwarzen und (32) weißen Feldern wissen wir, dass zwei weiße Felder übrig bleiben werden, bevor wir überhaupt irgendein Plättchen aufgelegt haben.

DAS ist diese "schöne Mathematik", die Erdös mit seiner Geschichte vom Buch vom Lieben Gott meint: es gibt unglaublich viele Möglichkeiten, und trotzdem lässt sich die Frage mit einer einzigen Idee - einem Geistesblitz - "blitz"-schnell beantworten.

Das ist mathematische Eleganz; oder eben "Schönheit für Mathematikergeschmack".

In einer Woche schauen wir uns noch so einen genial-schönen Beweis an. Dabei geht's um einen Spaziergang durch Königsberg. Lass dich überraschen....

c u soon
Helena
Mathematik zum Anfassen – „Was ist dabei eigentlich schön?“, Albrecht Beutelspacher
Was ist dabei eigentlich schön? - Teil 1 gepostet am 30.10.2014
Der Liebe Gott hat ein Buch....
Willkommen beim neuen Kapitel, das uns ab jetzt ein paar Wochen lang begleiten wird.

Es mag ja sein, dass du mit deinem Mathe-Unterricht nicht unbedingt was "Schönes" verbindest. Diese vermutliche Tatsache wollen wir mal außen vorlassen und uns fragen, ob die Mathematik selber etwas Schönes an sich hat; oder eben doch (leider) nicht.

Die großen Köpfe jedenfalls, die als Mathematiker in die Geschichte eingegangen sind - mögen sie auch noch so verschieden sein, was ihre Philosophie, ihr Temperament oder ihre Herangehensweise an eine Sache betrifft - in einem Punkt sind sie sich erstaunlich einig - und das sollte uns doch zu denken geben: nämlich in der Überzeugung, dass Mathematik (gemeint sind hier mathematische Definitionen oder Beweise) tatsächlich SCHÖN ist.

Im vorigen Jahrhundert gab es einen ungarischen Mathematiker - einen der größten des 20. Jahrhunderts übrigens - einen gewissen Paul Erdös. Besager Paul Erdös war nicht nur ein genialer Mathematiker, sondern auch ein begnadeter Geschichtenerzähler. Und eine seiner schönsten Geschichten ist diese:

Erdös sagt, der Liebe Gott habe ein Buch, in dem die allerschönsten mathematischen Beweise niedergeschrieben wären. Natürlich hätten die Menschen keinen Einblick in dieses Buch, aber manchmal fänden sie doch mathematische Beweise, die so klar und so schön wären, dass sie Beweise aus diesem Buch sein müssten. Meistens sind das Beweise, die ein scheinbar kompliziertes Problem mit einem einzigen "easy" Geistesblitz - sozusagen mit einem Fingerschnippen - lösen können.

Drei solche Beweise, die im Buch des Lieben Gottes stehen könnten, wollen wir uns anschauen. Und nächste Woche geht's los.

LiGrü
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Was ist dabei eigentlich schön?“, Albrecht Beutelspacher
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