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Conny's Blog
Conny's Blog
Summer-Special Teil 2 gepostet am 25.06.2014
more of Murphy
Hi!

Der gute Murphy begegnet uns ja in so gut wie allen Lebensbereichen. Diesmal habe ich ein paar Gesetzmäßigkeiten für Haushalt, Einkauf, Verkehr und Urlaub für dich ausgesucht, darunter das "berühmte" Gesetz vom Brot, das garantiert immer mit der Marmeladenseite nach unten auf den Boden (oder noch besser: auf den Teppich) fällt:

Auch wenn du dir hundertprozentig sicher bist, dass du die Seite des Brotes bestrichen hast, die beim runterfallen oben zu liegen kommt, hast du wieder die falsche erwischt.

Die Wahrscheinlichkeit, daß etwas runterfällt, ist proportional zu seiner Zerbrechlichkeit.

Da die Wahrscheinlichkeit ebenfalls proportional zu seinem Wert ist, ergibt sich eine exponentielle Steigerung der Wahrscheinlichkeit bei zerbrechlichen, wertvollen Dingen.

auch ein "Klassiker":
Im Supermarkt kommt die andere Warteschlange immer schneller voran.

und:
Nachdem du etwas gekauft hast, wird es danach immer woanders billiger angeboten.

Aber wusstest du auch, dass...:
...was man ausgepackt hat, nie mehr in die passende Verpackung passt?

Und noch zwei wissenswerte Facts zum Kofferpacken für den Urlaub:

Die beste Methode, im Urlaub schönes Wetter zu garantieren, ist, viele warme Sachen einzupacken und das Badezeug daheim zu lassen. Leider kennt Petrus den Trick schon...

und natürlich:
Daraus folgt: Das dauerhafte Urlaubs-Tiefdruckgebiet kommt immer, ganz gleich was man einpackt.

Na, dann kann ja nichts mehr schiefgehen...
oder?

ALLES LIEBE UND SCHÖNEN URLAUB !!!
wünscht dir
deine Helena

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Summer-Special gepostet am 23.06.2014
Murphy's Law
If something CAN go wrong, it WILL go wrong.

Wer kennt sie nicht, diese "Hauptregel" der Murphy'schen Gesetze? Daneben gibt es aber auch noch unzählige andere "Gesetzmäßigkeiten", die uns das kleine und größere Scheitern im Leben mit einem gewissen Augenzwinkern leichter ertragen lassen. Hier habe ich einige für dich ausgesucht - viel Spaß!


Wenn etwas schiefgehen kann, dann geht es schief (Hauptregel).

Wenn etwas auf verschiedene Arten schiefgehen kann, dann geht es immer auf die Art schief, die am meisten Schaden anrichtet.

Hat man alle Möglichkeiten ausgeschlossen, auf die etwas schiefgehen kann, eröffnet sich sofort eine neue Möglichkeit.

Wenn alles auf einmal schiefgeht, und man freut sich, daß man sich nur einmal ärgern muß, stellt man immer fest, daß es noch nicht alles war.

Nichts ist so leicht wie es aussieht.

Alles dauert länger als man denkt.

Alles Einfache ist schwierig, alles Schwierige unmöglich.

Jede Lösung eröffnet neue Probleme.

Früher oder später wird die schlimmstmögliche Verkettung von Umständen eintreten.

Eine Abkürzung ist die weiteste Entfernung zwischen zwei Punkten.

und last but not least:

Die Zeiten sind verschieden: An manchen Tagen verliert man, an manchen Tagen gewinnen die anderen.

In diesem Sinne: take it easy!

LG, Helena
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - 8. und letzter Teil gepostet am 11.06.2014
Das Finale.....
Servus beim Blog!

Heute geht's ein letztes Mal um unser "Achilles-Schildkröten-Kapitel". Zur Erinnerung vom letzten Mal: der junge Leonhard Euler hat mit seiner Formel π² / 6 den Grenzwert des bis dahin unlösbaren "Basel-Problems" herausgefunden. Bernoulli wird wahrscheinlich "not amused" gewesen sein....

Während die (mathematische) Welt noch staunte, wie Euler auf die Idee mit der Kreiszahl π kommen konnte , erkannte Euler, dass bei dieser Reihe nicht nur ein Zusammenhang zwischen den Quadratzahlen und π besteht, sondern auch ein Zusammenhang mit den Primzahlen: Euler fand heraus, dass diese unendliche Reihe gleichzeitig auch ein unendliches Produkt ist, in dem die Primzahlen vorkommen, nämlich:

2² / 2²-1 x 3² / 3²-1 x 5² / 5²-1 x 7² / 7²-1 x …… = 4/3 x 9/8 x 25/24 …

Dieses unendliche Produkt hat erstaunlicherweise genau denselben Grenzwert wie die "Basel-Problem" Reihe: π² / 6.

Vielleicht fragst du dich, warum diese Entdeckung von Euler so spektakulär ist bzw. was wir heute von dieser fast 300 Jahre alten Erkenntnis haben. Das kann ich dir sagen:

Was Euler da herausgefunden hat, hat einen direkten Zusammenhang zum wahrscheinlich größten und wichtigsten aller ungelösten Probleme, die die Mathematik heute hat (ja: nicht nur du hast ungelöste Probleme.... :-) ). Es handelt sich dabei um die sogenannte Riemann'sche Vermutung, die, wie du dir sicher vorstellen kannst, wenn's ein ungelöstes Problem ist, super kompliziert ist. Dabei geht's, grob gesprochen, um die Verteilung der Primzahlen, von der wir (also die heutige Mathematik) nach wie vor nicht so viel wissen, wie wir gerne wissen würden (also die Mathematiker). Aber das ist eine andere Geschichte....

Das Schuljahr ist in der Zielgeraden, also werden wir vor der großen Sommerpause kein neues Kapitel mehr anfangen. Bis dahin gibt's das eine oder andere "Blog-Special" mit Lustigem und Interessantem. Zur Belohnung für ein Schuljahr Blog-Lesen.... :-)

Alles Liebe
die Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - Teil 7 gepostet am 04.06.2014
das "Basel-Problem"
Hey!

Der Mathematiker mit dem soliden Selbstbewusstsein, von dem ich dir letzte Woche erzählt habe und der im Laufe seines Lebens die Grenzwerte aller möglichen Zahlenreihen bestimmt hat, ist ein gewisser Johann Bernoulli, der von 1667 bis 1748 gelebt hat. Sein sonst so unerschütterliches Selbstbewusstsein hat allerdings einen empfindlichen Dämpfer erlitten, undzwar durch den Umstand, dass er eine bestimmte Zahlenreihe nicht lösen konnte. Dabei ging es um die Reihe der reziproken Quadratzahlen.

Das klingt jetzt komplizierter, als es ist. Die Quadratzahlen sind 1², 2², 3², 4², 5² usw. "Reziprok" bedeutet, dass diese Quadratzahlen im Nenner eines Bruches stehen, also jeweils 1/.... Die "harte Nuss", an der sich Bernoulli die Zähne ausgebissen hat, lautet also

1 + ¼ + 1/9 + 1/16 +1/25 + … + 1/n2 + … =

Diese Reihe auszurechnen, schaut wiederum einfacher aus, als es ist. Bernoulli wusste zwar, dass das eine konvergente Zahlenreihe ist - also eine mit Grenzwert -, von dem er auch wusste, dass er < 2 sein muss. Aber wie hoch dieser Grenzwert tatsächlich ist, wusste weder er noch sonst irgendein Mathematiker seiner Zeit.

Wahrscheinlich war Bernoulli von der Idee, dass die Sache "Bernoulli-Problem" genannt wurde, nicht begeistert (wer will schon seinen Namen im Zusammenhang mit einem ungelösten Problem in die Geschichte eingehen sehen?). Und weil Bernoulli aus Basel war, wurde das Problem als "Basel-Problem" bekannt und galt zunächst als unlösbar.

... aber nur bis 1735, als ein gewisser Leonhard Euler - damals gerade mal 28 Jahre alt - auf den Plan trat und dem großen Bernoulli die Show stahl.

Euler fand heraus, dass der gesuchte Grenzwert π (Pi) ²/6 sein muss, wobei π (Pi) die Kreiszahl 3,14… ist. Das lässt sich ausrechnen und ergibt etwas mehr als 1,5 (genau 1,644...).

Was die Quadratzahlen mit der Kreiszahl π zu tun haben und welche besondere Gruppe von Zahlen da auch noch hineinfunkt, wirst du nächste Woche lesen. Und dann lassen wir's gut sein mit den divergenten und konvergenten Zahlenreihen.

LiGrü
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - Teil 6 gepostet am 04.06.2014
selbsternannter "größter Mathematiker..." beißt sich die Zähne aus...
Huhu!

Du erinnerst dich bestimmt an das Scheibenexperiment vom letzten Mal. Wir haben (vorgestellterweise) die übereinander liegenden Scheiben hinausgeschoben; die erste um die Hälfte (1/2), die darunterliegende (mitsamt der obersten) um ein Viertel, die Scheibe darunter (mit den beiden darüber) um 1/6; immer gerade so viel, dass die Geschichte nicht kippt.

Die Zahlenreihe, die diesem Experiment zugrunde liegt, lautet also:

½ + ¼ + 1/6 + 1/8 + 1/10 + 1/12 + .... = ?

Die Frage, die sich stellt, ist: nähert sich diese Reihe einer bestimmten Zahl an, oder wird der Wert immer größer, übersteigt er also alle Grenzen, je länger die Reihe fortgesetzt wird?

Der zuletzt erwähnte Bischof von Oresme hat eben diese Zahlenreihe untersucht und kommt zu unserer Überraschung zu dem Schluss, dass diese Reihe alle Grenzen übersteigt, wenn sie immer weiter fortgesetzt wird. Und zwar hat er das folgendermaßen rausgekriegt:

Oresme rechnete zunächst ½ + ¼ und fasst dann die nächsten beiden Werte (1/6 + 1/8) zusammen. 1/6 + 1/8 ist etwas mehr als 2/8, also 1/4. Also rechnet Oresme -> ½ + ¼ + ¼.

Dann fasst er die nächsten vier Werte zusammen: + 1/10 + 1/12 + 1/14 + 1/16; das ist zusammen etwas mehr als 4/16, also wiederum rd. + ¼.

Auch die nächsten 8 Zahlen ergeben zusammengefasst ca. ¼; genau wie die darauffolgenden 16 Zahlen gemeinsam.....

Die Rechnung, bis ins Unendliche fortgesetzt, lautet also: ½ + ¼ + ¼ + ¼ + ¼ + ¼ + ¼ + .... Das Ergebnis wird also immer größer, je länger die Reihe fortgesetzt wird. Eine solche Reihe nennt man eine ->

DIVERGENTE REIHE.

Zur Erinnerung: die KONVERGENTE REIHE nähert sich einer bestimmten Grenze (Zahl) an.

Dass diese Reihe vom Scheiben-Beispiel divergiert, ist doch einigermaßen erstaunlich. Wahrscheinlich hast du - wie die meisten - erwartet, dass es irgendeinen Punkt gibt, über den nicht hinausgeschoben werden kann, ohne dass das Gebilde kippt. Die Mathematik beweist aber, dass, die Scheiben immer weiter hinausgeschoben werden können, je mehr Scheiben an dem Experiment teilnehmen.

Wenn du jetzt deinen nagelneuen iPod darauf verwettet hättest, dass das eine konvergente Reihe sein muss: sei nicht traurig:

An dieser Divergenz und Konvergenz von Zahlenreihen haben sich auch schon andere die Zähne ausgebissen. Darunter (ca. 300 Jahre nach Oresme) ein an sich sehr selbstbewusster Typ, der sich selbst für den "... größten Mathematiker seiner Zeit..." hielt. Aber an einer bestimmten Zahlenreihe ist auch er gescheitert.

Welche das ist und wer dieser selbsternannte "größte Mathematiker seiner Zeit" ist, liest du beim nächsten Blog.

tschüss & ciao
deine Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - Teil 5 gepostet am 21.05.2014
das Scheiben-Experiment
Hallo,

beim Experiment mit dem hüpfenden Tischtennisball vom letzten Mal haben wir ausgerechnet, dass der Ball - selbst wenn er unendlich oft hüpft - insgesamt nur eine Strecke von rd. 3 Einheiten zurücklegt. Die Zahlenreihe, die die Bewegung des Balls beschreibt, haben wir "konvergente Zahlenreihe" genannt.

Heute möchte ich mit dir einen anderen Versuch machen, danach werden wir uns wieder dieselbe Frage stellen: gibt es einen Grenzwert, dem sich die ganze Sache annähert (konvergente Zahlenreihe), oder wird das Ergebnis der Zahlenreihe immer größer, je mehr Werte zusammengezählt werden (divergente Zahlenreihe)?. Dann mal los...

Der Versuch besteht darin, von fünf quadratischen, gleich großen Scheiben, die zunächst übereinander gestapelt sind, die oberste so weit wie möglich hinauszuschieben, ohne dass der Scheibenturm kippt. Dabei entsteht sozusagen ein möglichst schiefer Turm, der aber eben gerade nicht kippen darf.

Wir beginnen mit der obersten Scheibe und können sie bis zur knappen Hälfte über die darunterliegende Scheibe hinausschieben. Einen Deut weiter, und sie würde über die Kante der Scheibe darunter wegkippen.

Die nächste Scheibe (mit der obersten drauf) kann man nur noch um ein Viertel verschieben, ohne dass beide kippen, die dritte Scheibe um 1/6, die vierte Scheibe um 1/8.

Rechnen wir also zusammen: 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 = 25/24 = 1,04; also etwas (ganz genau um 4%) mehr als 1. Oder anders ausgedrückt: die oberste Scheibe ragt ganz wenig (um 4%) über die Kante der untersten Scheibe hinaus.

Was wir uns jetzt fragen, ist Folgendes:

Angenommen, wir machen die ganze Sache mit 6, 7, 8 oder mehr Scheiben: kann man dann immer weiter hinausschieben, oder kommt irgendwann der Punkt, den man nicht überschreiten kann, ohne dass der schiefe Scheibenturm kippt?

Diese Frage ist nicht ganz neu: schon im 14. Jahrhundert hat sich ein gewisser Nikolaus von Oresme, seines Zeichens französischer Bischof, dieselbe Frage gestellt (warum sich ausgerechnet ein Bischof mit solchen Fragen beschäftigt, kann ich dir auch nicht sagen). Er hat zwar, soweit wir wissen, dieses Experiment mit den Scheiben nicht gemacht, aber dafür genau diese Zahlenreihe untersucht. Was er dabei Erstaunliches herausgefunden hat, verrate ich dir nächste Woche.

Bis dann,
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - Teil 4 gepostet am 16.05.2014
"Rarität" hüpfender Tischtennisball

oder:

die konvergente Reihe
Grüezi!

Heute geht's noch einmal um den Tischtennisball, den wir beim letzten Mal hüpfen ließen. Die Fragen, ob der Ball nun eine endlich oder unendlich lange Strecke hüpft und wie lange diese Strecke ist, lösen wir jetzt "auf Mathematikerart". Gemma's an...

Nehmen wir einmal an, der Tischtennisball hüpft immer bis zur halben Höhe seines Ausgangs- bzw. Umkehrpunktes zurück. Die Gesamtstrecke der Bewegung nach unten ist dann:

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .......

Das geht in Richtung 2 (Einheiten = 2 E), mehr als 2 wird's nicht.

Schauen wir uns noch die Bewegung nach oben an:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + .....

Dieser Wert nähert sich 1 (Einheit = 1 E). Zusammen (ab- & aufwärts) legt er Tischtennisball nur eine Strecke von (annähernd) 3 Einheiten zurück.

Das Ergebnis ist doch ein bisschen überraschend, denn man sollte doch glauben, dass der Ball beim unendlichen Hüpfen auch eine unendlich große Strecke zurücklegen müsste. Mit dieser Erwartung sind wir aber, wie die Rechnung zeigt, auf dem Holzweg.

Manchmal kann es also sein, dass bei der Addition unendlich vieler Zahlen trotzdem (nur) eine endliche Zahl herauskommt. Das ist aber nicht nur nicht immer so, sondern im Gegenteil: meistens NICHT der Fall. Unser Tischtennsiball-Experiment ist also eine absolute Rarität. Wenn bei der Addition unendlich vieler Zahlen eine endliche Zahl herauskommt, nennen das die Mathematiker eine ->

KONVERGENTE REIHE.

Das Gegenteil ist die DIVERGENTE REIHE. Divergente Reihen haben zwar keinen Seltenheitswert, aber trotzdem auch ihren Reiz. Die schauen wir uns dann beim nächsten Blog an, schlage ich vor.

tschü-üss,
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - Teil 3 gepostet am 08.05.2014
Experiment "jumping ball"
Hey!

Heute möchte ich mit dir, wie versprochen, einem Tischtennsiball beim Hüpfen zuschauen. Was das mit der Schildkröte und Achilles zu tun hat? Wart's ab....

Wir lassen also einen Tischtennisball aus einer bestimmten Höhe auf eine ebene Tischplatte oder auf den (ebenen) Boden fallen. Nach dem Aufprall wird er eine gewisse Strecke wieder nach oben springen; nicht mehr bis zum Ausgangspunkt zurück, aber einen gewissen Anteil der ursprünglichen Strecke. Dann kehrt er um und springt nach der Bodenberührung einen wieder etwas kürzeren Anteil der Strecke hinauf. Das kannst du dir sicher vorstellen.

Wie lange springt eigentlich so ein Tischtennisball? Gäbe es keinen Luftwiderstand und keine Reibung, würde er unendlich lange hüpfen und dabei unendlich viele Strecken zurücklegen. Was wir uns jetzt fragen, ist Folgendes:

Legt der Tischtennisball (unter der Voraussetzung, dass es weder Luftwiderstand noch Reibung gibt) tatsächlich eine unendlich lange Strecke zurück? Oder ist es doch eine endlich-lange Strecke, und wenn ja: WIE lang ist diese Strecke?

??

Nichts als Fragen. Die beantworten wir alle beim nächsten Blog.

So long
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - Teil 2 gepostet am 02.05.2014
Des Rätsels Lösung...
Willkommen bei der Auflösung unseres Wettrennen-Rätsels!

Wie ist das jetzt mit Achilles und der Schildkröte?

Die Argumentation der Schildkröte, dass sie immer in der Zeit, die Achilles zum Aufholen seines Rückstandes braucht, einen (wenn auch immer kleiner werdenden) Vorsprung erkriechen kann, scheint vordergründig logisch. Andererseits wissen wir natürlich, dass die Schildkröte bei einem realen Rennen nie gegen Achilles gewinnen kann. Spielen wir's also durch:

Die Schildkröte bekommt 100 m Vorsprung, und beide starten los. Wenn Achilles bei der 100 m - Marke ankommt, ist die Schildkröte 10 m weit gekommen. Wir haben an diesem Punkt praktisch dieselbe Situation wie am Anfang mit dem feinen Unterschied, dass der Vorsprung auf 1/10 geschrumpft ist. Ist Achilles bei der 110 m - Marke angekommen, ist die Schildkröte nur mehr 1 m vor ihm. Also wieder dieselbe Sache: der Vorsprung der Schildkröte ist neuerlich auf 1/10 geschrumpft. 1 Meter ist nicht viel, und wir wissen: noch ein Schritt, und Achilles wird die Schildkröte überholt haben.

Mathematisch betrachtet, geht's darum, unendlich viele Zahlen - nämlich die Werte des immer kleineren Vorsprungs der Schildkröte - zusammenzuzählen. Machen wir das:

100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ..... = 111,11111111111

Wir wissen nicht, wie groß die Zahl ganz genau ist, denn sie ist offensichtlich unendlich, aber wir sehen, dass sie irgendwo zwischen 111 und 112 (eher bei 111) liegen muss. Und was sagt uns das? Dass Achilles die Schildkröte allerspätestens bei der 112 m - Marke überholt haben wird.

Damit wäre die Frage unseres Kapitels eigentlich beantwortet. Natürlich geben wir uns damit aber nicht zufrieden. Nächstes Mal werden wir einen Tischtennisball fallen lassen und ihm beim Hüpfen zuschauen. Hoffentlich du auch (zuschauen, nicht hüpfen :-) ).

c u
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
Wann überholt Achilles die Schildkröte? - Teil 1 gepostet am 24.04.2014
Ein ungleiches Wettrennen mit ungewissem Ausgang
Hallo!

Hoffentlich hattest du eine chillige Osterwoche. Jetzt geht's jedenfalls in die Zielgerade Richtung Schulschluss, und wir starten gleich einmal durch mit einem neuen Kapitel. Also: lass dich verwirren :-)

Und da wollen wir einen gewissen Zenon von Elea bemühen, einen griechischen Philosophen, der um ca. 400 v. Chr. gelebt hat und sozusagen der "Münchhausen der Antike" war. Ihm verdanken wir die wunderbare Story von einem Wettrennen zwischen Achilles, der für seine Geschwindigkeit berühmt ist und bei den Buchmachern als nahezu sicherer Sieger des gesamten Wettbewerbs gehandelt wird, und der Schildkröte.

Die Schildkröte ist bekanntlich nicht die schnellste, aber dumm ist sie auch nicht und weiß: wenn sie erst einmal loslaufen, hat sie auch schon verloren. Deswegen fängt sie an, mit Achilles zu verhandeln, schmeichelt ihm ein bisschen (wer hört nicht gerne, dass er der Beste und Coolste und überhaupt der Schönste.... ist?) und versucht, einen Vorsprung herauszuschinden. Achilles möchte mal nicht so sein und sagt der Schildkröte so viel Vorsprung zu, wie sie haben möchte. Sie einigen sich auf 100 m Vorsprung, und Achilles weiß, dass er das in null-komma-nix aufgeholt haben würde. "Mag sein", argumentiert die Schildkröte, aber in der Zeit, die Achilles zum Aufholen brauchen würde, wäre auch sie schon wieder ein Stückchen weiter gelaufen; bestimmt nicht 100 m, aber vielleicht 10 m. Achilles ist immer noch zuversichtlich: für diese 10 m würde er nicht lange brauchen. "Nicht lange", pflichtet ihm die schlaue Schildkröte bei, aber auch in dieser kurzen Zeit würde sie selbst auch wieder ein Stückchen vorwärts gekommen sein; ungefähr einen Meter, schätzt sie.

Jetzt dämmert es Achilles allmählich, worauf die Schildkröte hinaus will: in der Zeit, die Achilles zum Aufholen des (verbliebenen) Vorsprunges braucht, würde die Schildkröte immer ein kleines Stückchen weiter kommen; ein immer kleineres Stückchen zwar, aber trotzdem immer VOR Achilles. Und Achilles fragt sich, ob er die Schildkröte niemals überholen würde können.

Kann er? Oder gewinnt tatsächlich die Schildkröte? Nächstes Mal klären wir das.

Ach ja: bitte keine Tierquälereien mit Hausschildkröten, die zu irgendwelchen Wettrennen genötigt werden .... :-)

LG, Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wann überholt Achilles die Schildkröte?“, Albrecht Beutelspacher
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