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Conny's Blog
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Warum wir so einfach rechnen können… - 6. und letzter Teil gepostet am 09.04.2014
"Schräger" Rechentrick
Hi!

Zum Abschluss des Kapitels habe ich dir einen "schrägen" Rechentrick versprochen, mit dem man im Dezimalsystem sehr cool multiplizieren kann. Bitteschön: hier ist er....

Rechnen wir z.B. 21 x 32. Dazu machen wir für beide Zahlen Schrägstriche für jede Stelle, und zwar so, dass die Linien einander kreuzen, also:

21: 2 Striche für die Z-Stelle, 1 Strich für E-Stelle: // /
32: 3 Striche für die Z-Stelle, 4 Striche für E-Stelle: \\\ \\

Damit ist die Rechnung eigentlich schon fertig. Jetzt müssen wir nur noch die Schnittstellen ganz links (für H-Stelle), in der Mitte (obere und untere Schnittpunkte für Z-Stelle) und ganz rechts (für die E-Stelle) ab- bzw. zusammenzählen:

Ganz links (H-Stelle) bilden die Linien 6 Schnittpunkte -> H-Stelle ist also 6.

In der Mitte gibt es oben 4 und unten 3 Schnittstellen, zusammen also 7. Das ist die Z-Stelle.

Ganz rechts kreuzen die Linien 2x -> E-Stelle ist also 2.

Das Ergebnis lautet also 672. Dein Taschenrechner wird's dir bestätigen.

Auf dem Bild zum Blog ist ein anderes Beispiel gezeichnet bzw. gerechnet: 34 x 12. Hier ist die Schnittstellensumme in der Mitte (Z-Stelle) 10, also zweistellig. Da schreibt man die Null als Zehnerstelle und zählt "1 weiter" (zur Hunderterstelle dazu). H-Stelle ist also: 3 Schnittstellen + 1 = 4.

Ergebnis: 408

Der Trick funktioniert übrigens auch mit 3- (oder mehrstelligen) Faktoren. Da muss man nur gut aufpassen, welche Schnittstellen für die ZT-, T-, H-, Z- und E-Ebene zusammengezählt werden müssen.

Damit machen wir Schluss mit dem "So-Einfach-Rechnen" Kapitel. Ich hoffe, es ist gelungen, dich zu überzeugen, dass die Sache mit dem Rechnen im Grunde tatsächlich gar nicht so schwer ist.

Nächste Woche sind ja Osterferien - da ist "blogfrei". Enjoy your vacation, nach Ostern geht's mit etwas ganz anderem weiter.

Happy Easter!
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wieso können wir so einfach rechnen?“, Albrecht Beutelspacher



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Warum wir so einfach rechnen können… - Teil 5 gepostet am 03.04.2014
"Römer-Multiplizieren"
Hey!

Wie versprochen, knöpfen wir uns heute das Multiplizieren mit dem Rechentisch oder Rechentuch vor. Und du wirst sehen, dass auch das gar nicht schwierig ist. Bei der Addition haben wir das "Kleine 1+1" (also von 1+1 bis 9+9) gebraucht; bei der Multiplikation brauchen wir - erraten! - das "Kleine 1x1" - und das kann ja bekanntlich (fast) jeder.

Versuchen wir's gleich einmal mit 13 x 4:

Zuerst legen wir die Zahl 13: 1 Rechenstein auf der Z-Ebene, 3 auf der E-Ebene. Bei der Multiplikation mit 4 kommen einfach auf jeden Stein am Rechentuch noch 3 drauf: 1x + 3x = 4x. Jetzt liegen natürlich ziemlich viele Steine am Tuch, also bereinigen (wechseln) wir: 10 E = 1 Z, 5 Z = 1 Fünfziger. Das Ergebnis ist -> 52.

Ganz einfach ist die Multiplikation mit 10. Im Dezimalsystem brauchen wir dazu einfach nur eine Null an die Zahl, die mit 10 multipliziert werden soll, dranzuhängen - fertig. Auf dem Rechentuch wird aus E -> Z, aus Z -> H usw. Alle Steine werden einfach um 1 Ebene hinaufgesetzt.

Wollen wir also z.B. 13 x 20 rechnen, setzen wir erst einmal alle Steine um 1 Ebene höher ( = x 10) und verdoppeln dann: auf jeden Stein kommt ein zweiter drauf. Dann noch bereinigen/wechseln: 5 der 6 Steine auf der Z-Ebene wechseln wir in 1 Fünfziger. Das Ergebnis lautet -> 260.

Nehmen wir mal an, wir waren so trickreich, die beiden Rechnungen 13 x 4 und 13 x 20 links und rechts auf dem selben Rechentuch gelegt/gerechnet zu haben. Dann brauchen wir für 13 x 24 nur mehr die Steine auf beiden Seiten zusammenzulegen, ein wenig "wechseln" und kommen auf -> 312. Mit dem Taschenrechner wär' auch nix anderes rausgekommen :-)

Genug gerechnet für heute. Nächste Woche schließen wir das Kapitel mit einem (im wahrsten Sinne des Wortes) SCHRÄGEN Rechentrick ab. Sehr cool, kann ich dir sagen - lass dich überraschen...

c u
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wieso können wir so einfach rechnen?“, Albrecht Beutelspacher

Warum wir so einfach rechnen können… - Teil 4 gepostet am 26.03.2014
die "Neunerprobe" (nach Adam Riese)
Servus!

Letzte Woche haben wir mit Hilfe eines virtuellen Rechentuches Zahlen addiert. Das ist zwar grundsätzlich eine simple Geschichte, allerdings leider ziemlich unübersichtlich. Fehler können dabei leicht passieren, und die findet man dann nie wieder, weil es zur Rechnung nichts Schriftliches gibt. Das ist natürlich blöd.

Dass man sich da irgendwas einfallen lassen muss, war schon vor ein paar hundert Jahren klar. Um also eventuellen Fehlern auf die Schliche zu kommen zu können, wurden verschiedene Hilfen erfunden, um zu checken, ob das Gerechnete stimmt oder nicht. Eines dieser Kontrollverfahren, das ich dir heute vorstellen möchte, ist die sogenannte "Neunerprobe", und die verdanken wir unserem alten Freund Adam Riese (eigentlich Adam Ries), dem großen deutschen Rechenmeister des 16. Jahrhunderts, dem "Vater des modernen Rechnens". Diese Neunerprobe funktioniert bei der Addition, Subtraktion und Multiplikation - nur nicht bei der Division - und geht so:

Zuerst wird ein Kreuz aufgezeichnet und die Quersummen der beiden Zahlen, die addiert/subtrahiert/multipliziert werden sollen, gebildet. Von diesen Quersummen wird dann die Zahl 9 so oft wie möglich abgezogen, also bis der Rest < 9 ist. Diese "Reste" werden links und rechts vom Kreuz hingeschrieben.

Von den Resten errechnest du die Summe/die Differenz/das Produkt und schreibst den Wert oberhalb des Kreuzes auf. Ist der Wert > 9, musst du vorher wieder so oft 9 abziehen, bis der Wert < 9 ist.

Zum Schluss rechnest du die eigentliche Aufgabe (Summe/Differenz/Produkt) aus und schreibst die Quersumme deines Ergebnisses unterhalb des Kreuzes hin, nachdem du wiederum so oft wie möglich 9 abgezogen hast.

Stehen ober- und unterhalb des Kreuzes dieselben Zahlen, hast du richtig gerechnet. Hurrah!

Klingt komplizierter, als es ist. Machen wir am besten ein Beispiel:

Die Aufgabe lautet: 2.467 + 4.283

Quersumme von 2.467 = 19 - 9 - 9 = 1 (schreibe 1 links vom Kreuz auf)

Quersumme von 4.283 = 17 - 9 = 8 (schreibe 8 rechts vom Kreuz auf)

1 (Rest links) + 8 (Rest rechts) = 9 - 9 = 0 (schreibe 0 oberhalb des Kreuzes auf)

2.467 + 4.283 = 6.750
Quersumme von 6.750 = 18 - 9 - 9 = 0 (schreibe 0 unterhalb des Kreuzes auf)

oben 0 und unten 0 -> richtig gerechnet!

Zugegeben: mit dem Taschenrechner geht's einfacher. Wenn du dich aber in eine Zeit zurückversetzt, wo Sachen wie Taschenrechner niemandem abgegangen sind, musst du zugeben: schwierig ist es eigentlich nicht. Nur viel mühsamer, als wir das heute gewohnt sind.

Vielleicht wirst du argumentieren, dass das "Römerrechnen" mit Rechentisch oder Rechentuch ja noch geht, wenn man addieren oder subtrahieren möchte. Das geht zur Not ja sogar im Kopf. Beim Multiplizieren größerer Zahlen reicht der "durchschnittliche" Kopf meistens nicht mehr.

Dass das Multiplizieren mit Rechentisch/-tuch schwieriger ist als das Addieren, ist aber ein Irrtum. Und das zeig' ich dir nächstes Mal.

tschü-üss
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wieso können wir so einfach rechnen?“, Albrecht Beutelspacher
Warum wir so einfach rechnen können… - Teil 3 gepostet am 19.03.2014
"Römerrechnen"
Hi!

Heute wollen wir uns spaßhalber gedanklich gute 2000 Jahre und ins Alte Rom zurückversetzen, also in eine Zeit, in der es mit Stromanschluss, Akkus und Knopfbatterien noch nicht so weit her war. Was wir haben, ist ein Rechentisch oder Rechentuch und jede Menge Rechensteine, und damit wollen wir zwei Zahlen (gleich einmal zwei vierstellige) addieren. Also dann....

Zuerst wird das Rechentuch säuberlich ausgebreitet und die beiden Zahlen mit den Rechensteinen auf den Linien dargestellt: eine links, die andere rechts. Danach brauchen wir eigentlich nicht viel mehr zu machen als bei Teil 1 des Kapitels mit den Stäbchen beim Schafherden-Zusammenlegen: die Steine von links und rechts werden einfach zusammengeführt, natürlich auf der jeweiligen Ebene. Und fertig; zumindest fast.

Wenn nach der Zusammenführung viele Steine auf den Linien liegen, kann das mitunter etwas unübersichtlich werden, weil sich die Höhe der Summe nicht auf einen Blick erkennen lässt. Liegen mehr als 10 Steine auf einer Ebene, kann man Überträge machen oder "wechseln" (10 E = 1 Z, 10 Z = 1 H.....). Schon besser...

Um die Sache noch ein bisschen zu vereinfachen, hat man die Steine nicht nur AUF, sondern auch in die Mitte ZWISCHEN zwei Linien gelegt. Steine in einem Zwischenraum - auch "Spacium" genannt - haben den 5-fachen Wert eines Steins auf der darunter befindlichen Linie. Also zählt ein Stein zwischen E- und Z-Ebene -> 5, zwischen Z- und H-Ebene -> 50 und zwischen H- und T-Ebene -> 500.

Nach dem Addieren, also dem Zusammenführen der Steine, funktioniert das Wechseln genau wie vorher: 5 E = 1 Fünfer; 2 Fünfer = 1 Z; 5 Z = 1 Fünfziger, 2 Fünfziger = 1 H usw usf. Wenn man das ordentlich macht und sich bei der Wechselei nicht vertut, bleiben zum Schluss nur wenige Steine auf den einzelnen Linien übrig, und die richtige Summe der Addition kann relativ leicht abgelesen werden.

War doch nicht so schwierig, oder? Nächstes Mal mehr dazu.

So long
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wieso können wir so einfach rechnen?“, Albrecht Beutelspacher
Warum wir so einfach rechnen können… - Teil 2 gepostet am 12.03.2014
Rechnen mit Stellenwertsystemen
Hello!

Ziel des heutigen Blogs ist es, dir zu zeigen, wie easy das Rechnen mit Stellenwertsystemen ist. Nehmen wir der Einfachheit halber das uns geläufige Dezimalsystem und addieren wir einmal was, z.B. 1356 und 7.523. Und los...

1356 = eintausenddreihundertundsechsundfünfzig, eigentlich nur eine Abfolge von Ziffern. Im Dezimalsystem bedeutet das: 1T + 3H + 5Z + 6E. Bei der Addition werden die T-er, die H-er, die Z-er und die E-er einfach zusammengezählt:

1356 = 1T + 3H + 5Z + 6E
7523 = 7T + 5H + 2Z + 3E
= 8T + 8H + 7Z + 9E = 8.879

Genau genommen ist das nichts anderes als die "Stäbchen-Mathematik", die wir beim letzten Mal hatten (Stichwort: Schäfchen-Zählen).

Und wahrscheinlich weil diese Art des Rechnens so bestechend einfach ist, wurde sie auch in anderen Kulturen benutzt, die gar kein Dezimalsystem verwendeten; allen voran die Römer mit ihren doch eher unvorteilhaften Zahlendarstellungen. Zum Rechnen haben sie den Abacus verwendet mit Perlen für die T-er-, H-er-, Z-er- und E-erstelle. Im Mittelalter kannte man in Abwandlung des Abacus Rechentische und Rechentücher, letztere waren praktisch für die Reise, weil sie überall hin mitgenommen werden konnten (sozusagen ein "Taschenrechner" :-) ). Bei diesen Tüchern hat man Rechenpfennige oder Rechensteine auf Linien für T=Tausend, H=Hundert, Z=Zehn und E=Eins gelegt. Wie man mit so einem Ding rechnen kann, schauen wir uns kommende Woche beim Blog an.

& tschüss
die Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wieso können wir so einfach rechnen?“, Albrecht Beutelspacher
Warum wir so einfach rechnen können… - Teil 1 gepostet am 12.03.2014
Wie alles angefangen haben könnte
oder:
die "Stäbchen-Mathematik"
Willkommen beim Blog und einem neuen Kapitel!

Auch wenn es dir manchmal vielleicht nicht so vorkommt: im Grunde ist doch die Sache mit dem Rechnen eine total einfache. Für den Fall, dass du das jetzt nicht glauben willst: kein Problem! In den nächsten Wochen werde ich versuchen, dich davon zu überzeugen, dass ich mit dieser Behauptung Recht habe. "Gewonnen" habe ich dann, wenn du mir am Ende des Kapitels zustimmst. :-)

Gezählt wurde ja schon vor -zig tausenden von Jahren. Die Menschen haben mangels Schrift für die Zahlen Kerben gemacht bzw., wenn's nicht so "haltbar" sein musste, Steine oder Stäbchen gelegt.

Stellen wir uns einmal den prähistorischen Hirten von vor -zig tausend Jahren vor. Wenn der seine Schäfchen zählen wollte, hat er möglicherweise für jedes Schaf ein Stäbchen in die Hand genommen. Wenn er die Herde durch hatte, wusste er, wie viele Schäfchen er hatte; und zwar nicht die Zahl selbst (die musste gar nicht benannt werden), sondern ganz "haptisch" eben so viele, wie er Stäbchen in der Hand hatte.

Der "Hirte von nebenan" hat das wahrscheinlich genau so gemacht, und wenn die beiden Herden zusammengelegt werden sollten, wurden analog auch die Stäbchen aus den beiden Händen zusammen genommen. "So viele" Schafe (wie Stäbchen) hatte dann die neue, zusammengelegte Herde; nicht 4 + 7 Schafe, auch nicht 11, sondern einfach nur "so viele" (wie Stäbchen).

Das ist doch ziemlich simpel, was meinst du? Natürlich hat die Sache einen Haken: diese "Stäbchen-Mathematik" ist super für kleine Mengen - da gibt's eigentlich bis heute keine bessere Alternative - für große Zahlen taugt sie aber nicht mehr; logisch: das wird schnell unübersichtlich und damit unbrauchbar, und sogenannte Stellenwertsysteme müssen her.

Und da gab und gibt es die verschiedensten. Die Babylonier vor rd. 4000 Jahren z.B. hatten ein 60er-System, die Mayas ein 20er-System, uns geläufig sind das Dezimal- und das Binärsystem. Bei diesen und allen anderen Stellenwertsystemen ist das Rechnen immer gleich schwierig; oder eben eigentlich -> gleich einfach!

Und das beweise ich dir beim nächsten Mal.

LiGrü
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Wieso können wir so einfach rechnen?“, Albrecht Beutelspacher
Zahlen & Zählen - 6. und letzter Teil gepostet am 26.02.2014
Der "1. Computer"
Hallo!

Heute geht's mit unserem Zahlen & Zählen - Kapitel in die Zielgerade. Und los...

Zu den Primzahlen vom letzten Mal wollte ich dir noch ein paar Dinge sagen. Sie sind - zumindest für alle Mathematiker - eine total spannende Sache, die viele ihrer Geheimnisse (noch) nicht preisgegeben hat. Z.B. hat es bis dato noch niemand geschafft, eine Formel für Primzahlen zu finden. Wir wissen auch nicht, wie man von einer Primzahl zur nächsten kommt. Bekannt ist nur, dass zwischen einer Primzahl und ihrem Doppelten mindestens eine Primzahl liegt.

Was kann man also machen mit diesen Primzahlen, die sich unserer Erforschung so erfolgreich einziehen? Weil die Primzahlen eben so geheimnisvoll sind, liegt es geradezu nahe, sie für Verschlüsselungen zu verwenden. Tatsächlich basieren die raffiniertesten, am schwierigsten zu knackenden Geheimcodes auf Primzahlen; und zwar deshalb, weil es ziemlich tricky ist, große Zahlen in ihre Primzahlen zu zerlegen.

So much to the Primzahlen. Zum Schluss möchte ich dir noch die erste bekannte "Rechenmaschine" vorstellen. Es handelt sich dabei um den Knochen vom Blog-Bild, den sogenannten Isango-Knochen, der Anfang der 1960er Jahre in Zaire gefunden wurde und flockige 20.000 Jahre alt ist. Das Sensationelle an diesem Teil sind die Einkerbungen, mit denen Zahlen dargestellt werden: auf einer Knochenseite 3 6 / 4 8 / 5 10, also jeweils Verdoppelungen. Auf der anderen Seite des Knochens - vielleicht noch erstaunlicher - sind folgende Zahlen eingekerbt: 11 13 17 19 und das sind - erraten: die Primzahlen!

Dass sich Leute schon vor 20.000 Jahren die Köpfe über Primzahlen zerbrochen haben, ist schon einigermaßen bemerkenswert und zeugt - da sind sich die Historiker einig - von einer sehr hochentwickelten Kultur. Diesen Isango-Knochen könnte man die 1. Rechenmaschine oder einen prähistorischen Computer nennen.

Jetzt aber endgültig Aus-die-Maus mit dem Zahlen & Zählen - Kapitel. Nächste Woche geht's dann um was völlig anderes. Lass dich überraschen...

Davor lass es in den letzten Faschingstagen noch einmal ordentlich krachen.

Hip Hip Hurrahh!
die Helena

Mathematik zum Anfassen – „Zahlen & Zählen“ , Albrecht Beutelspacher
Zahlen & Zählen - Teil 5 gepostet am 19.02.2014
die Primzahlen: Bausteine aller Zahlen
Hey,

auf geht's: wie versprochen -> die Primzahlen.

Ich weiß nicht, wie's dir geht mit den Primzahlen. Auf den ersten Blick schaut's so aus, als ließen die gar nichts mit sich anfangen. Stimmt aber nicht; gar nicht. Im Gegenteil: die Primzahlen - jede einzelne für sich und die Menge aller Primzahlen - waren schon immer und sind auch noch heute Gegenstand mathematischer Forschung ohne Ende. Sie sind die Bausteine aller Zahlen, oder anders ausgedrückt: jede Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen darstellen. 12 z.B. = 2 x 2 x 3. Sie sind wie die Atome, aus denen sich sämtliche Stoffe der Welt zusammensetzen.

Schon sehr früh - dokumentiert bereits im 1. bekannten Buch der Mathematik, im "Buch des Euklid", war bekannt, dass es "... unendlich viele Primzahlen..." und "... keine größte Primzahl..." gibt. Das hat dieser Euklid immernin schon ca. 300 v.Chr. rausgekriegt. Und ob es irgendeinen Sinn macht oder nicht: heute gibt es im Internet sogar Primzahlenrekorde. Die aktuell größte Primzahl lautet 2hoch32.582.657 – 1 und hat nahezu 10 Mio Stellen (9.808.358 Dezimalstellen); unvorstellbar! Die gewaltige Computerleistung, die wir heute haben, macht's möglich.

Nächstes Mal kommen noch ein paar Gedanken zu den Primzahlen dazu und ein Blick von den Hochleistungsrechnern der Gegenwart zurück in die tiefste Vergangenheit. "Ganz genau" 20.000 Jahre zurück, so alt ist nämlich der erste "prähistorische Computer".

Lass dich überraschen und schau wieder rein beim Blog.

AL, Helena

Mathematik zum Anfassen – „Zahlen & Zählen“ , Albrecht Beutelspacher
Zahlen & Zählen - Teil 4 gepostet am 19.02.2014
Quadratzahlen
Hi beim Blog!

Nach der "Erforschung" der geraden und ungeraden Zahlen vom letzten Mal knöpfen wir uns heute die sogenannten Quadratzahlen vor. Quadratzahlen sagen dir nix? Damit sind die Anzahlen von Steinen gemeint, die man jeweils im Quadrat auflegen kann; also 2 Steine im Quadrat = 4 Steine, 3 Steine im Quadrat -> 9 Steine, 4 Steine im Quadrat -> 16 Steine, dann 25, 36 usw.

Gehen wir einmal der Frage nach, wie man von einer Quadratzahl zur nächsten kommt bzw. welcher Zusammenhang zwischen diesen Quadratzahlen besteht.

Zu 2-Quadrat (4) muss man 5 Steine dazulegen, um zu 3-Quadrat (9) zu kommen; von 3-Quadrat (9) auf 4-Quadrat (16) fehlen 7 Steine, vom dort zu nächsten Quadratzahl (25) -> 9 Steine usw. Was fällt da sofort auf? Na klar: das sind immer ungerade Zahlen.

Allgemein lässt sich sagen:
n-te Quadratzahl + 2n+1 = n+1te Quadratzahl

Probieren wir das gleich mit 6-Quadrat, 36, aus (n = 6):
2n + 1 = 2 x 6 + 1 = 13
36 + 13 = 49 = nächste Quadratzahl (7-Quadrat).

Die ungeraden Zahlen stehen also in einem besonderen Zusammenhang zu den Quadratzahlen.

Die Griechen haben sich eingehend mit solchen sogenannten "figurierten Zahlen" beschäftigt; das sind z.B. Dreieckszahlen, Pentagonalzahlen (Fünfeckzahlen), Hexagonalzahlen (Sechseckzahlen) etc.

Sehr einfach vorstellbar sind die Rechteckzahlen; z.B. 15 = 3 x 5 (Seitenlängen 3 und 5); oder 12 = 2 x 6 oder 3 x 4.

Es gibt unzählige Rechteckszahlen, aber auch andere, Nicht-Rechteckzahlen; z.B. die Zahlen 3, 5, 7 oder 11.

Diese Zahlen kommen dir wahrscheinlich bekannt vor. Es sind - erraten! - die Primzahlen, und die nehmen wir beim nächsten Blog unter die Lupe.

Ciao
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Zahlen & Zählen“ , Albrecht Beutelspacher
Zahlen & Zählen - Teil 3 gepostet am 06.02.2014
gerade und ungerade Zahlen -
Pythagoräer erforschen Bits
Grüß dich beim blog!

Weiter geht's mit unserem Za/ählen-Kapitel...

Womit haben sich die Pythagoräer also die Zeit vertrieben bzw. welche "Zahlen-Untersuchungen" haben sie angestellt?

Die vielleicht einfachste Eigenschaft einer Zahl ist jene, ob sie gerade oder ungerade ist, oder anders gesagt: ob bei der Teilung durch 2 ein Rest bleibt oder eben keiner. Die Pythagoräer haben das auch ganz praktisch mit "Hilfsmitteln" erforscht, indem sie Steine in Zweierreihen aufgelegt haben. Bleibt ein Stein "alleine", ohne "Gegenüber", ist die Zahl ungerade. Durch Hinzufügen bzw. Wegnehmen eines Steins lässt sich eine gerade Zahl ungerade machen und umgekehrt. Heute bezeichnen wir gerade Zahlen als 2n und ungerade Zahlen als 2n+1 oder 2n-1.

Auch das Rechnen mit geraden und ungeraden Zahlen folgt gewissen Gesetzmäßigkeiten: gerade + ungerade Zahl (da haben die Pythagoräer die Steine einer ungeraden und einer geraden Zahl zusammengelegt, also addiert), ist IMMER eine ungerade Zahl.
Andererseits gilt: ungerade Zahl + ungerade Zahl = gerade Zahl.
Ebenso bei der Multiplikation: ungerade Zahl x ungerade Zahl = ungerade Zahl (Produkt).

Das hast du alles schon gewusst? Ok, was ist damit?:

Sagt man statt "ungerade" -> "1" und statt "gerade" -> "0", dann sind diese Eigenschaften der ungeraden und geraden Zahlen zugleich die Rechenregeln für die Zahlen 0 und 1. Und 0 und 1 sind - genau! - die Bits! So gesehen, waren es eigentlich die Pythagoräer, die als erste die Bits erforschten, die den heutigen Computern zugrunde liegen.

Mehr gibt's nächte Woche. Hoffe, du bist wieder dabei.

LiGrü
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Zahlen & Zählen“ , Albrecht Beutelspacher
Zahlen & Zählen - Teil 2 gepostet am 05.02.2014
Rhythmen der Welt
Hallo!

Melde mich nach einer kleinen Unterbrechnung wieder zurück. Hoffentlich hast du den mathe-Blog nicht allzu sehr vermisst :-)

Sicher hast du schon einmal dein Ohr jemandem an die Brust gelegt, um den Herzschlag zu hören: 1 2 3 4 5 6...... Der Herzschlag ist wohl der Ur-Rhythmus; und einer von den schnelleren so wie das Ein- & Ausatmen oder Schritte. Größere Rhythmen (oder Zyklen) sind z.B. Tag & Nacht, die Jahreszeiten oder Geburt & Tod bis hin zu den ganz großen, von denen wir selber nur einen winzigen Ausschnitt erleben. Denke nur an die Ausdehnung unserer Galaxie. Irgendwann wird sie zu dem einen Punkt zurückkehren, der ihr Ursprung war.

Wenn wir uns dieser Rhythmen der Welt bewusst werden, kommt das Zählen ganz von alleine. Wenn du also dein Ohr an jemandes Brust legst, kannst du es fast nicht verhindern, die Schläge mitzuzählen.

Mathematik, wie wir sie verstehen, gibt es seit ca. 2.500 Jahren. Pythagoras, der Grieche, war der erste große Mathematiker der Geschichte. Anfangs ging es darum, die Zahlen einerseits zu benennen und damit zu zählen, andererseits aber auch, Muster und Eigenschaften der Zahlen und Zusammenhänge zwischen diesen Zahleneigenschaften zu erforschen.

Bei dieser Erforschung von charakteristischen Eigenschaften von Zahlen waren die Pythagoräer Weltmeister. Für sie waren die einzelnen Zahlen bzw. Zahlenwerte gar nicht so wichtig wie deren Eigenschaften. Welche Überlegungen sie zu den Zahleneigenschaften angestellt haben, wollen wir uns nächstes Mal anschauen.

So long
Helena

Mathematik zum Anfassen – „Zahlen & Zählen“ , Albrecht Beutelspacher
Zahlen & Zählen - Teil 1 gepostet am 08.01.2014
Welt = Muster
Muster = Zahl
Willkommen im Neuen Jahr!
Willkommen zurück beim mathe-blog!

Ich freu mich, dass du wieder da bist. Hoffentlich hattest du supercoole Weihnachtsferien und bist top motiviert zum Durchstarten 2014.

Und da hab' ich mir gedacht, dass wir mal mit was ganz Elementarem anfangen; etwas, ohne das man, wenn's um Mathe geht, nicht lang auskommt: die Zahlen. Die sind für uns alle so selbstverständlich, dass keiner je drüber nachdenkt. Aber wie alles hat es auch mit den Zahlen irgendwann angefangen. Und das ist ganz schön lange her....

Eine der ältesten Zahlendarstellung, die wir haben, stammt aus der Steinzeit - tausende Jahre, bevor die Menschen über Sesshaftigkeit und sonstige Zivilisation nachgedacht haben - und ist respekteinflößende 30.000 Jahre alt. Es ist ein Wolfsknochen, den man in Tschechien gefunden hat, mit 30 Einkerbungen auf der einen und 25 Einkerbungen auf der anderen Seite; dazwischen 2 große Trennstriche. Experten und Forscher sind sich einig, dass es sich bei diesem Knochen weder um ein Schmuckstück noch um das Produkt prähistorischer Langeweile und sinnlosen Herumschnitzens handelt, sondern um eine ganz bewusste Darstellung von Zahlen. Da hatten unsere Vorfahren schon vor ganz schön langer Zeit das Bedürfnis nach Zahlen.

Die Sache mit dem "Bedürfnis" trifft den Nagel ziemlich auf den Kopf, denn die Darstellung von Zahlen war für die Menschen wichtig, um die Welt überhaupt erst einmal zu erkennen. Menschen nehmen die Welt über Muster war, und Zahlen SIND Muster.

Ein Beispiel: wenn auf deinem Schulweg irgendwo 3 Bäume stehen, würde es dir sofort auffallen, wenn es plötzlich 4 wären oder nur noch 2; auch wenn du die Bäume noch nie bewusst abgezählt hättest, sogar wenn du überhaupt nicht bis 3 zählen könntest. Es geht hier nicht ums Abzählen, sondern ums Erkennen des "Musters 3 Bäume". Die Psychologen, die ja für alles tolle Fachausdrücke haben, nennen das die "Erfahrung von der Konstanz der Welt".

Eine ähnliche Entwicklung wie die Menschheit vor -zig tausend Jahren macht jedes Kind durch, das die Welt immer besser als "strukturiertes Etwas" wahrnimmt (dein Zimmer vielleicht ausgenommen :-) ).

Struktur = Muster, Muster = Zahl und Zahl = Mathematik. Wahrscheinlich hast du's nie so betrachtet, aber so gesehen, begleitet uns Mathematik schon von der Windelhosenzeit an; nicht nur, um die Welt zu verstehen, sondern um sie überhaupt erst einmal zu erfassen.

Vielleicht hilft diese Sichtweise deiner Liebe zur Mathematik ein bisschen auf die Sprünge. Kann jedenfalls nicht schaden, denn das Semesterzeugnis kommt bestimmt :-)

Nächste Woche geht's weiter.

Wir "sehen" uns
LG, Helena

Mathematik zum Anfassen – „Zahlen & Zählen“ , Albrecht Beutelspacher
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