Sieben Zwerge sitzen mit ihrem Milchbecher an einem runden Tisch. In den Bechern
befinden sich insgesamt drei Liter Milch. Zwerg1 verteilt den Inhalt seines Becher gleichm??ig
auf die Becher seiner Kameraden. Anschlie?end verteilt der n?chste Zwerg, entgegen dem
Uhrzeigersinn, seinen Becher gleichm??ig auf die der anderen. Schlie?lich verteilt auch der
letzte Zwerg in der Runde seinen Becherinhalt. Nun hat am Ende jeder Zwerg wieder die
gleiche Menge Milch in seinem Becher wie vor der Verteilung.
Bestimme den Inhalt der Becher zum Beginn der Verteilung!

Alle Hilfsmittel (Voyager, Mathematica,...) sind erlaubt. Altersgrenze: ab 17 Jahren.
Quelle: 7.Allunionsolympiade, Moskau 1998

Wir beginnen der Einfachheit halber mit zwei Zwergen (statt mit allen sieben).
Die Inhalte ihrer Becher sei mit x1 und x2 bezeichnet.
Zwerg1 gie?t seinen Becher in den Becher von Zwerg2:

x2=x2+x1

x1 = 0


Jetzt f?llt Zwerg2 seinen Becher in den von Zwerg1:

x1 = 0 + x2 + x1

x2 = 0

Am Ende der Verteilung ist der Becher vom Zwerg2 leer.
Laut Aufgabenstellung soll der Endzustand gleich dem Anfangszustand sein,
d.h. Zwerg2 mu? am Anfang einen leeren Becher gehabt haben!
Diese ?berlegung gilt nat?rlich auch sp?ter f?r unsere sieben Zwerge.


Mit 3 Zwergen sieht das dann so aus:
Wir wissen bereits, dass x2 = 0 zu Beginn sein mu?. Die Mengengleichungen f?r jede Verteilungsrunde
sehen dann so aus:

1. Runde, Zwerg1 verteilt seinen Becher auf Zwerg3 und Zwerg2:

2. Runde, Zwerg3 verteilt seinen Becher auf Zwerg2 und Zwerg1:

3. Runde, Zwerg2 verteilt seinen Becher auf Zwerg1 und Zwerg3:

Nun soll der Endzustand gleich der Anfangsmenge sein, also: (diese gleichungen l?sen nach x1 bzw. x3:)

zus?tzlich gilt dann noch:

mit 4 Zwergen wird das ganze noch m?hsamer, und mit sieben kommen dann schon wahre Gleichungsunget?me heraus - 7 Gleichungen mit 7 Unbekannten und den sch?nen L?sungen:

x1 = 6/7 x2 = 0, x3 = 1/7, x4 = 2/7, x5 = 3/7, x6 = 4/7, x7 = 5/7 Liter.